persamaan trigonometri
PERSAMAAN TRIGONOMETRI
Persamaan Trigonomteri Sederhana
- sinx = sin a,==> x = a + k.360° atau x = (180 - a) + k.360°
2. cos x = cos a, => x = a + k.360° atau x = -a + k.360°
3. tan x = tan a => x = a + k.180° dengan x E R dan k E bilangan bulat
Contoh 1:
Tentukan Himpunan penyelesaian dari sin x = sin 70°, 0°< x < 360°
Jawab: x = 70° + k.360°
k = 0 ==> x = 70° atau x = (180 - 70) + k.360° ==> x = 110° + k.360°
k = 0 ==> x = 110°
Jadi, Hp = {70°, 110°}
Contoh 2:
Tentukan Himpunan penyelesaian dari cos x = cos 24°, dalam interval 0°< x < 360°
Jawab: x = 24° + k.360°
k = 0 , x = 24° atau x = -24° + k.360°
k = 1 , x = -24° + 360° = 336°
Jadi, Hp = {24°, 336°}
Contoh 3:
Tentukan Himpunan penyelesaian dari tan x = tan 56°, dalam interval 0°< x < 360°
Jawab: x = 56° + k.180°
k = 0, ==> x = 56°
k = 1 ==> x = 56° + 180° = 236°
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 52°, 236°}
Persamaan Berbentuk sinpx = a, cospx = a dan tanpx = a
diselesaikan dengan cara mengubah ke persamaan sederhana, yaitu dengan merubah ruas kanan (konstanta a) menjadi perbandingan trigonometri yang senama dengan ruas kiri
Contoh 1:
Tentukan Himpunan penyelesaian dari sin 3x = ½, 0°< x < 180°
Jawab: sin 3x = sin 30° maka
• 3x = 30° + k.360°
x = 10° + k.120°
k = 0 , x = 10°
k = 1 , x = 10° + 120° = 130°
• 3x = (180 - 30) + k.360°
3x = 150° + k.360°
x = 50° + k.120°
k = 0 , x = 50°
k = 1 , x = 50° + 120° = 170°
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 10°, 50°, 130°, 170°}
Contoh 2:
Tentukan Himpunan penyelesaian dari cos (x + ¾π) = ½√2 , 0 < x < 2π
Jawab: cos (x + ¾π) = cos¼π
• (x + ¾π) = ¼π + 2k.π
x = -¾π + ¼π + 2k.π
x = -½π + 2k.π
k = 1 , x = -½π + 2π = 1½π
• (x + ¾π) = -¼π + 2k.π
• (x + ¾π) = -¼π + 2k.π
x = -¾π - ¼π + 2k.π
x = -π + 2k.π
k = 1 , x = -π + 2π = π
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 1½π, π }
Contoh 3:
Tentukan Himpunan penyelesain dari tan ⅓x = √3, 0°< x < 2π
Jawab: tan⅓x = tan ⅓π
⅓x = ⅓π + 2k.π
x = π + 6k.π
k = 0, x = π
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { π }
Contoh 4:
Tentukan Himpunan penyelesaian dari 2cos x + 1= 0 , 0° < x < 360°
Jawab: 2cosx + 1 = 0
2cosx = -1
cosx = -½
x = 120°, 210°
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {120°, 210°}
Persamaan Trigonometri yang memuat Jumlah atau Selisih sinus atau kosinus
Menggunakan rumus:
sinA + sinB = 2sin½(A + B)cos½(A – B)
sinA – sinB = 2cos½(A + B)sin½(A – B)
cosA + cosB= 2cos½(A + B)cos½(A – B)
cosA – cosB=-2sin½(A + B)sin½(A – B)
Contoh 1:
Tentukan Himpunan penyelesaian dari sin 3x + sinx = 0, 0°< x < 180°
Jawab: sin3x + sinx = 0
2sin½(3x + x).cos½(3x - x) = 0
2sin2x.cosx = 0
o sin 2x = 0 atau cosx = 0
sin 2x = 0 atau cosx = 0
• dari sin2x = 0 atau sin2x = sin 0°
diperoleh 2x = 0° + k.360°
x = 0° + k.180°
k = 0 , x = 0°
k = 1 , x = 180°
• dari cosx = 0 atau cosx = cos90°
diperoleh x = 90° + k.360°
k = 0 , x = 90°
atau x = -90° + k.360°
tidak ada harga x yang memenuhi Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 0°, 90°, 180°}
Contoh 2:
Tentukan Himpunan penyelesaian dari sin 3x - sinx + cos2x = 0, 0 < x < 2π
Jawab:
(sin3x – sinx) + cos2x = 0
2cos½(3x + x).sin½(3x - x) + cos2x= 0
2cos2x.sinx + cos2x = 0
cos2x (2sinx + 1) = 0
cos2x (2sinx + 1) = 0
cos2x = 0 atau 2sinx + 1 = 0
dari cos2x = 0 atau cos2x = cos½π
o 2x = ½π + 2kπ
x = ¼π + kπ
k = 0 , x = ¼π
k = 1 , x = ¼π + π = 1¼π
o 2x = -½π + 2kπ
o 2x = -½π + 2kπ
x = -¼π + kπ
k = 1 , x = -¼π + π = ¾π
k = 2 , x = -¼π+ 2π = 1¾π
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { ¼π,1¼π, ¾π, 1¾π}
Contoh 3:
Tentukan Himpunan penyelesaian dari sin(x + 60°) + sin(x - 30°) = ½√2, dalam interval 0° < x < 360°
Jawab:
sin(x + 60°) + sin(x - 30°) = ½√2
2sin½{(x + 60°) + (x - 30°)} x
cos½{(x + 60°) – (x – 30°)} = ½√2
2sin½{(x + 60°) + (x - 30°)} x
cos½{(x + 60°) – (x – 30°)} = ½√2
2sin½(2x + 30°)cos½(90°) = ½√2
2sin(x + 15°)cos45° = ½√2
2sin(x + 15°).½√2 = ½√2
sin(x + 15°) = ½
sin(x + 15°) = sin 30°
• x + 15° = 30° + k.360°
sin(x + 15°) = sin 30°
• x + 15° = 30° + k.360°
x = 15° + k.360°
k = 0 , x = 15°
• x + 15° = (180° – 30°) + k.360°
x = 150° – 15° + k.360°
k = 0 , x = 135°
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 15°, 135°}
Contoh 4:
Tentukan Himpunan penyelesaian dari cos(x + 65°) + cos(x - 25°) = ½√2, dalam interval 0° < x < 360°
Jawab:
cos(x + 65°) + cos(x - 25°) = ½√2
2cos½{(x + 65°) + (x - 25°)} x
cos½{(x + 65°) – (x – 25°)} = ½√2
2cos½{(x + 65°) + (x - 25°)} x
cos½{(x + 65°) – (x – 25°)} = ½√2
2cos½(2x + 40°)cos½(90°) = ½√2
2cos(x + 20°)cos45°=½√2
2cos(x + 20°).½√2 = ½√2
cos(x + 20°) = ½
cos(x + 20°) = cos60°
x + 20° = 60° + k.360°
cos(x + 20°) = cos60°
• x + 20° = 60° + k.360°
x = 40° + k.360°
k = 0 , x = 40°
• x + 20 = - 60° + k.360°
x = - 80° + k.360°
k = 1 , x = -80° + 360°
x = 280°
Jadi, Hp = { 40°, 280°}
Persamaan Trigonometri yang berbentuk persamaan kuadrat dalam sin, cos atau tan
Langkah-langkahnya:
- Langsung difaktorkan bila sudah berbentuk persamaan kuadrat dalam sin ,cos atau tan.
- Bila belum berbentuk persamaan kuadrat dalam sin ,cos atau tan, ubah dulu ke bentuk persamaan kuadrat dalam sin, cos atau tan,dengan menggunakan:
a. Rumus trigonometri sederhana
b. Rumus trigonomteri sudut rangkap
Contoh 1:
Tentukan Himpunan penyelesaian dari 2sin2x + 3sinx – 2 = 0, 0°< x < 360°
Jawab:
2sin2x + 3sinx – 2 = 0
(2sinx – 1)(sinx + 2) = 0
2sin x – 1 = 0 atau sinx + 2 = 0
• 2sin x – 1 = 0 atau 2sinx = 1
sinx = ½
sinx = ½ ,
sinx = sin 30°
x = 30° + k.360°
k = 0 , x = 30°
x = (180° – 30°) + k.360°
x = 150° + k.360°
k = 0 , x = 150°
• Untuk sinx + 2 = 0, sin x = -2
tidak ada nilai x yang memenuhi. Jadi, Hp = { 30°, 150°}
Contoh 2:
Tentukan Himpunan penyelesaian dari cos2x + 2cosx = 3, 0°< x < 360°
Jawab: cos2x + 2cosx = 3
cos2x + 2cosx – 3 = 0
(cosx + 3)(cosx – 1) = 0
• cosx + 3 = 0 atau cosx = -3
tidak ada harga x yang memenuhi
(cosx + 3)(cosx – 1) = 0
• cosx - 1= 0 atau cosx = 1
x = 0°, 360°
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {0°, 360°}
Contoh 3:
Tentukan Himpunan penyelesaian dari tan2x – 3 = 0, 0°< x < 360°
Jawab: tan2x – 3 = 0
(tanx + √3)(tan - √3) = 0
• tanx + √3 = 0 atau tanx = -√3
x = 120°, 300°
(tanx + √3)(tan - √3) = 0
tanx - √3 = 0 atau tanx = √3
x = 60°, 240°
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {60°, 120°, 240°, 300°}
Contoh 4:
Tentukan Himpunan penyelesaian dari cos2x – sinx = 1, 0°< x < 360°
Jawab: cos2x – sinx = 1
1 - 2sin2x – sinx = 1
sinx(- 2sinx – 1) = 0
sinx = 0 atau -2sinx – 1 = 0
• sin x = 0
x = 0°, 180°, 360°
• -2sinx – 1 = 0
-2sinx = 1
sinx = -½
x = 210°, 330°
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 0°, 180°, 210°, 330°, 360°}
Contoh 5:
Tentukan Himpunan penyelesaian dari cos2x – 3cosx + 2 = 0, 0°< x < 360°
Jawab: cos2x – 3cosx +2 = 0
2cos2x – 1 – 3cosx + 2 = 0
2cos2x – 3cosx + 1 = 0
(2cosx – 1)(cosx – 1) = 0
• 2cosx – 1 = 0 atau 2cosx = 1
cosx = ½
(2cosx – 1)(cosx – 1) = 0
cosx = ½
x = 60°, 300°
cosx – 1 = 0 ® cosx = 1
x = 0°, 360°
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {0°, 60°, 300°, 360°}
Contoh 6:
Himpunan penyelesaian sin4x + sin2x = 0, 0°< x < 360°
Jawab:
sin4x + sin2x = 0
2sin2xcos2x + sin2x = 0
sin2x(cos2x + 1) = 0
• sin2x = 0
2x = k.360°
x = k.180°
sin2x(cos2x + 1) = 0
• sin2x = 0
2x = k.360°
x = k.180°
x = 0°, 180°, 360°
• cos2x + 1 = 0
cos2x = -½
2x = ±120° + k.360°
x = ± 60° + k. 180°
x = 60° + k. 180°
x = 60°, 240°
x = -60° + k. 180°
x = 120°, 300°
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {60°, 120°, 180°, 240°, 300°, 360°}
Latihan
Tentukan himpunan penyelesaian dari
1.sin x = sin 80°, 0°< x < 360°
2. cos x = cos 63°, dalam interval 0°< x < 360°
3. tan x = tan 35°, dalam interval 0°< x < 360°
4. sin 5x = ½, 0°< x < 180°
5. cos (3x + ¾π) = ½√2 , 0 < x < 2π
6.2tan ⅓x = √3, 0°< x < 2π
7. 2cos x - 1= 0 , 0°< x < 360°
bahan : dari berbagai sumber
