Matematika: persamaan trigonometri

persamaan trigonometri

PERSAMAAN TRIGONOMETRI

Persamaan Trigonomteri Sederhana

sinx = sin a,==> x = a + k.360° atau x = (180 - a) + k.360°

2. cos x = cos a, => x = a + k.360° atau x = -a + k.360°

3. tan x = tan a => x = a + k.180° dengan x E R dan k E bilangan bulat

Contoh 1:

Tentukan Himpunan penyelesaian dari sin x = sin 70°, 0°< x < 360°

Jawab: x = 70° + k.360^°

k = 0 ==> x = 70° atau x = (180 - 70) + k.360° ==> x = 110° + k.360°

k = 0 ==> x = 110°

Jadi, Hp = {70°, 110°}

Contoh 2:

Tentukan Himpunan penyelesaian dari cos x = cos 24°, dalam interval 0°< x < 360°

Jawab: x = 24° + k.360^°

k = 0 , x = 24° atau x = -24° + k.360°

k = 1 , x = -24° + 360° = 336°

Jadi, Hp = {24°, 336°}

Contoh 3:

Tentukan Himpunan penyelesaian dari tan x = tan 56°, dalam interval 0°< x < 360°

Jawab: x = 56° + k.180^°

k = 0, ==> x = 56°

k = 1 ==> x = 56° + 180° = 236°

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 52°, 236°}

Persamaan Berbentuk sinpx = a, cospx = a dan tanpx = a

diselesaikan dengan cara mengubah ke persamaan sederhana, yaitu dengan merubah ruas kanan (konstanta a) menjadi perbandingan trigonometri yang senama dengan ruas kiri

Contoh 1:

Tentukan Himpunan penyelesaian dari sin 3x = ½, 0°< x < 180°

Jawab: sin 3x = sin 30° maka

• 3x = 30° + k.360^°

x = 10° + k.120°

k = 0 , x = 10°

k = 1 , x = 10° + 120° = 130°

• 3x = (180 - 30) + k.360°

3x = 150° + k.360°

x = 50° + k.120°

k = 0 , x = 50°

k = 1 , x = 50° + 120° = 170°

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 10°, 50°, 130°, 170°}

Contoh 2:

Tentukan Himpunan penyelesaian dari cos (x + ¾π) = ½√2 , 0 < x < 2π

Jawab: cos (x + ¾π) = cos¼π

• (x + ¾π) = ¼π + 2k.π

x = -¾π + ¼π + 2k.π

x = -½π + 2k.π

k = 1 , x = -½π + 2π = 1½π

•(x + ¾π) = -¼π + 2k.π

x = -¾π - ¼π + 2k.π

x = -π + 2k.π

k = 1 , x = -π + 2π = π

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 1½π, π }

Contoh 3:

Tentukan Himpunan penyelesain dari tan ⅓x = √3, 0°< x < 2π

Jawab: tan⅓x = tan ⅓π

⅓x = ⅓π + 2k.π

x = π + 6k.π

k = 0, x = π

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { π }

Contoh 4:

Tentukan Himpunan penyelesaian dari 2cos x + 1= 0 , 0° < x < 360°

Jawab: 2cosx + 1 = 0

2cosx = -1

cosx = -½

x = 120°, 210°

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {120°, 210°}

Persamaan Trigonometri yang memuat Jumlah atau Selisih sinus atau kosinus

Menggunakan rumus:

sinA + sinB = 2sin½(A + B)cos½(A – B)

sinA – sinB = 2cos½(A + B)sin½(A – B)

cosA + cosB= 2cos½(A + B)cos½(A – B)

cosA – cosB=-2sin½(A + B)sin½(A – B)

Contoh 1:

Tentukan Himpunan penyelesaian dari sin 3x + sinx = 0, 0°< x < 180°

Jawab: sin3x + sinx = 0

2sin½(3x + x).cos½(3x - x) = 0

2sin2x.cosx = 0

o sin 2x = 0 atau cosx = 0

sin 2x = 0 atau cosx = 0

• dari sin2x = 0 atau sin2x = sin 0°

diperoleh 2x = 0° + k.360°

x = 0° + k.180°

k = 0 , x = 0°

k = 1 , x = 180°

• dari cosx = 0 atau cosx = cos90°

diperoleh x = 90° + k.360°

k = 0 , x = 90°

atau x = -90° + k.360°

tidak ada harga x yang memenuhi Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 0°, 90°, 180°}

Contoh 2:

Tentukan Himpunan penyelesaian dari sin 3x - sinx + cos2x = 0, 0 < x < 2π

Jawab:

(sin3x – sinx) + cos2x = 0

2cos½(3x + x).sin½(3x - x) + cos2x= 0

2cos2x.sinx + cos2x = 0

cos2x (2sinx + 1) = 0

cos2x = 0 atau 2sinx + 1 = 0

dari cos2x = 0 atau cos2x = cos½π

o 2x = ½π + 2kπ

x = ¼π + kπ

k = 0 , x = ¼π

k = 1 , x = ¼π + π = 1¼π

o 2x = -½π + 2kπ

x = -¼π + kπ

k = 1 , x = -¼π + π = ¾π

k = 2 , x = -¼π+ 2π = 1¾π

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { ¼π,1¼π, ¾π, 1¾π}

Contoh 3:

Tentukan Himpunan penyelesaian dari sin(x + 60°) + sin(x - 30°) = ½√2, dalam interval 0° < x < 360°

Jawab:

sin(x + 60°) + sin(x - 30°) = ½√2

2sin½{(x + 60°) + (x - 30°)} x

cos½{(x + 60°) – (x – 30°)} = ½√2

2sin½{(x + 60°) + (x - 30°)} x

cos½{(x + 60°) – (x – 30°)} = ½√2

2sin½(2x + 30°)cos½(90°) = ½√2

2sin(x + 15°)cos45° = ½√2

2sin(x + 15°).½√2 = ½√2

sin(x + 15°) = ½

sin(x + 15°) = sin 30°

• x + 15° = 30° + k.360°

sin(x + 15°) = sin 30°

• x + 15° = 30° + k.360°

x = 15° + k.360°

k = 0 , x = 15°

• x + 15° = (180° – 30°) + k.360°

x = 150° – 15° + k.360°

k = 0 , x = 135°

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 15°, 135°}

Contoh 4:

Tentukan Himpunan penyelesaian dari cos(x + 65°) + cos(x - 25°) = ½√2, dalam interval 0° < x < 360°

Jawab:

cos(x + 65°) + cos(x - 25°) = ½√2

2cos½{(x + 65°) + (x - 25°)} x

cos½{(x + 65°) – (x – 25°)} = ½√2

2cos½{(x + 65°) + (x - 25°)} x

cos½{(x + 65°) – (x – 25°)} = ½√2

2cos½(2x + 40°)cos½(90°) = ½√2

2cos(x + 20°)cos45°=½√2

2cos(x + 20°).½√2 = ½√2

cos(x + 20°) = ½

cos(x + 20°) = cos60°

x + 20° = 60° + k.360°

cos(x + 20°) = cos60°

• x + 20° = 60° + k.360°

x = 40° + k.360°

k = 0 , x = 40°

• x + 20 = - 60° + k.360°

x = - 80° + k.360°

k = 1 , x = -80° + 360°

x = 280°

Jadi, Hp = { 40°, 280°}

Persamaan Trigonometri yang berbentuk persamaan kuadrat dalam sin, cos atau tan

Langkah-langkahnya:

Langsung difaktorkan bila sudah berbentuk persamaan kuadrat dalam sin ,cos atau tan.
Bila belum berbentuk persamaan kuadrat dalam sin ,cos atau tan, ubah dulu ke bentuk persamaan kuadrat dalam sin, cos atau tan,dengan menggunakan:

a. Rumus trigonometri sederhana

b. Rumus trigonomteri sudut rangkap

Contoh 1:

Tentukan Himpunan penyelesaian dari 2sin²x + 3sinx – 2 = 0, 0°< x < 360°

Jawab:

2sin²x + 3sinx – 2 = 0

(2sinx – 1)(sinx + 2) = 0

2sin x – 1 = 0 atau sinx + 2 = 0

• 2sin x – 1 = 0 atau 2sinx = 1

sinx = ½

sinx = ½ ,

sinx = sin 30°

x = 30° + k.360°

k = 0 , x = 30°

x = (180° – 30°) + k.360°

x = 150° + k.360°

k = 0 , x = 150°

• Untuk sinx + 2 = 0, sin x = -2

tidak ada nilai x yang memenuhi. Jadi, Hp = { 30°, 150°}

Contoh 2:

Tentukan Himpunan penyelesaian dari cos²x + 2cosx = 3, 0°< x < 360°

Jawab: cos²x + 2cosx = 3

cos²x + 2cosx – 3 = 0

(cosx + 3)(cosx – 1) = 0

• cosx + 3 = 0 atau cosx = -3

tidak ada harga x yang memenuhi

(cosx + 3)(cosx – 1) = 0

• cosx - 1= 0 atau cosx = 1

x = 0°, 360°

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {0°, 360°}

Contoh 3:

Tentukan Himpunan penyelesaian dari tan²x – 3 = 0, 0°< x < 360°

Jawab: tan²x – 3 = 0

(tanx + √3)(tan - √3) = 0

• tanx + √3 = 0 atau tanx = -√3

x = 120°, 300°

(tanx + √3)(tan - √3) = 0

tanx - √3 = 0 atau tanx = √3

x = 60°, 240°

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {60°, 120°, 240°, 300°}

Contoh 4:

Tentukan Himpunan penyelesaian dari cos2x – sinx = 1, 0°< x < 360°

Jawab: cos2x – sinx = 1

1 - 2sin²x – sinx = 1

sinx(- 2sinx – 1) = 0

sinx = 0 atau -2sinx – 1 = 0

• sin x = 0

x = 0°, 180°, 360°

• -2sinx – 1 = 0

-2sinx = 1

sinx = -½

x = 210°, 330°

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 0°, 180°, 210°, 330°, 360°}

Contoh 5:

Tentukan Himpunan penyelesaian dari cos2x – 3cosx + 2 = 0, 0°< x < 360°

Jawab: cos2x – 3cosx +2 = 0

2cos²x – 1 – 3cosx + 2 = 0

2cos²x – 3cosx + 1 = 0

(2cosx – 1)(cosx – 1) = 0

• 2cosx – 1 = 0 atau 2cosx = 1

cosx = ½

(2cosx – 1)(cosx – 1) = 0

cosx = ½

x = 60°, 300°

cosx – 1 = 0 ® cosx = 1

x = 0°, 360°

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {0°, 60°, 300°, 360°}

Contoh 6:

Himpunan penyelesaian sin4x + sin2x = 0, 0°< x < 360°

Jawab:

sin4x + sin2x = 0

2sin2xcos2x + sin2x = 0

sin2x(cos2x + 1) = 0

• sin2x = 0

2x = k.360°

x = k.180°

sin2x(cos2x + 1) = 0

• sin2x = 0

2x = k.360°

x = k.180°

x = 0°, 180°, 360°

• cos2x + 1 = 0

cos2x = -½

2x = ±120° + k.360°

x = ± 60° + k. 180°

x = 60° + k. 180°

x = 60°, 240°

x = -60° + k. 180°

x = 120°, 300°

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {60°, 120°, 180°, 240°, 300°, 360°}

Latihan

Tentukan himpunan penyelesaian dari

1.sin x = sin 80°, 0°< x < 360°

2. cos x = cos 63°, dalam interval 0°< x < 360°

3. tan x = tan 35°, dalam interval 0°< x < 360°

4. sin 5x = ½, 0°< x < 180°

5. cos (3x + ¾π) = ½√2 , 0 < x < 2π

6.2tan ⅓x = √3, 0°< x < 2π

7. 2cos x - 1= 0 , 0°< x < 360°

bahan : dari berbagai sumber

Matematika

Sunday, 24 May 2015

persamaan trigonometri

persamaan trigonometri

1 comment: